Tổng các nghiệm nguyên âm của phương trình \(\left...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương trình \(\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)\left( {x + d} \right) = e\)  trong đó \(a + b = c + d\).

+) Đặt \(t = {x^2} + \left( {a + b} \right)x\,\,\left( * \right)\)

\(\begin{array}{l}pt \Leftrightarrow \left[ {{x^2} + \left( {a + b} \right)x + ab} \right]\left[ {{x^2} + \left( {c + d} \right)x + cd} \right] = e\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {t + ab} \right)\left( {t + cd} \right) = e \Rightarrow pt\,\,bac\,\,2\end{array}\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right) = 9\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 7} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right) = 9\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 8x + 7} \right)\left( {{x^2} + 8x + 15} \right) = 9\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 8x + 11 - 4} \right)\left( {{x^2} + 8x + 11 + 4} \right) = 9\end{array}\)

Đặt \(y = {x^2} + 8x + 11\).

Khi đó phương trình \( \Leftrightarrow \left( {y - 4} \right)\left( {y + 4} \right) = 9 \Leftrightarrow {y^2} - 16 = 9 \Leftrightarrow {y^2} = 25 \Leftrightarrow y =  \pm 5\)

+) Với \(y = 5 \Rightarrow {x^2} + 8x + 11 = 5 \Leftrightarrow {x^2} + 8x + 6 = 0 \Leftrightarrow x =  - 4 \pm \sqrt {10} \)

+) Với \(y =  - 5 \Rightarrow {x^2} + 8x + 11 =  - 5 \Leftrightarrow {x^2} + 8x + 16 = 0 \Leftrightarrow {x_1} = {x_2} =  - 4\)

Vậy tổng các nghiệm nguyên âm của phương trình đã cho là \( - 4\) 

Chọn D.