Phương trình \((\sin x + \cos x)...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Giải phương trình và tìm số nguyên k trong công thức nghiệm thõa mãn.

- Sử dụng công thức: \(\sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right);\;\;\sin x - \cos x = \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;(\sin x + \cos x) + \sqrt 3 (\sin x - \cos x) = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - \sqrt 6 \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 2\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\cos \frac{\pi }{3} - \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\sin \frac{\pi }{3} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \frac{\pi }{{12}} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \frac{\pi }{{12}} = \pi  - \frac{\pi }{4} + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + m2\pi \end{array} \right.\,,\;\;k,\;m \in \mathbb{Z}\end{array}\)

Ta có:

\(\left[ \begin{array}{l}0 \le \frac{\pi }{3} + k2\pi  \le 10\pi  \Rightarrow k \in \left\{ {0;\;1;\;2;\;3;\;4} \right\}\\0 \le \frac{{5\pi }}{6} + m2\pi  \le 10\pi  \Rightarrow m \in \left\{ {0;\;1;\;2;\;3;\;4} \right\}\,\,\end{array} \right..\)

Vậy có 10 nghiệm thõa mãn.

Chọn B.