Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(f\left( x...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phân tích 2 số \(\dfrac{1}{x}\) và \(\dfrac{1}{{1 - x}}\) để tạo thành các số nghịch đảo, sau đó sử dụng BĐT Cô-si cho hai số \(x,y \ge 0:\,\,x + y \ge 2\sqrt {xy} \). Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow x = y\).

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{1 - x}} = \dfrac{{x + 1 - x}}{x} + \dfrac{{x + 1 - x}}{{1 - x}}\\f\left( x \right) = 1 + \dfrac{{1 - x}}{x} + \dfrac{x}{{1 - x}} + 1 = \dfrac{{x - 1}}{x} + \dfrac{x}{{1 - x}} + 2\end{array}\)

Do \(0 < x < 1 \Rightarrow \dfrac{{1 - x}}{x} > 0;\,\,\dfrac{x}{{1 - x}} > 0\).

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\dfrac{{1 - x}}{x};\,\,\dfrac{x}{{1 - x}}\) ta có: \(\dfrac{{1 - x}}{x} + \dfrac{x}{{1 - x}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{1 - x}}{x}.\dfrac{x}{{1 - x}}}  = 2\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) \ge 2 + 2 = 4\).

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{{1 - x}}{x} = \dfrac{x}{{1 - x}} \Leftrightarrow {\left( {1 - x} \right)^2} = {x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - x = x\\1 - x =  - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\,\,\left( {tm} \right)\\1 = 0\,\,\left( {loai} \right)\end{array} \right.\).

Vậy \(\min f\left( x \right) = 4 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\). Vậy \(m = 4\).

Chọn B.