Xác định hệ số của \({x^8}\) trong các khai triển...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Công thức  tổng quát của khai triển nhị thức:  \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n}{b^0} + C_n^1{a^{n - 1}}{b^1} + ... + C_n^n{a^0}{b^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n - k}}{b^k}\)

Để khai triển\(f(x) = {\left( {1 + x + 2{x^2}} \right)^{10}}\) ta coi \(a = 1\)  và \(b = x + 2{x^2}\)

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}f(x) = {\left( {1 + x + 2{x^2}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{1^{10 - k}}.{{\left( {x + 2{x^2}} \right)}^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k.{{\left( {x + 2{x^2}} \right)}^k}} \\ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k\sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i{x^{k - i}}{{\left( {2{x^2}} \right)}^i}} }  = \sum\limits_{k = 0}^{10} {\sum\limits_{i = 0}^k {C_{10}^kC_k^i{{.2}^i}.{x^{k + i}}.} } \end{array}\)

Để có hệ số \({x^8}\) thì: \(\left\{ \begin{array}{l}k + i = 8\\0 \le i \le k \le 10\\i,\;k \in Z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}i = 0\\k = 8\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}i = 1\\k = 7\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}i = 2\\k = 6\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}i = 3\\k = 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}i = 4\\k = 4\end{array} \right.\end{array} \right..\)  

Như vậy ta có hệ số của \({x^8}\) trong khai triển là: \(C_{10}^8.C_8^0{.2^0} + C_{10}^7.C_7^1{.2^1} + C_{10}^6.C_6^2{.2^2} + C_{10}^5.C_5^3{.2^3} + C_{10}^4.C_4^4{.2^4} = 37845.\)

Chọn A