Tìm số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(C_{2n + 1}^1...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tổng quát: \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n}{b^0} + C_n^1{a^{n - 1}}{b^1} + ... + C_n^n{a^0}{b^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n - k}}{b^k}\)

Nhận xét : biểu thức đã cho gồm tổng của các \(C_n^k\)với k : lẻ

Để triệt tiêu các k chẵn : ta thức hiện 2 khai triển nhị thức Newton sau đó trừ vế với vế.

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 + 1} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}\\{\left( {1 - 1} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0 - C_{2n + 1}^1 + ... - C_{2n + 1}^{2n + 1}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết:

Ta có các khai triển:

\(\left\{ \begin{array}{l}{2^{2n + 1}} = {\left( {1 + 1} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}\\0 = {\left( {1 - 1} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0 - C_{2n + 1}^1 + ... - C_{2n + 1}^{2n + 1}\end{array} \right.\)

Trừ vế với vế của hai phương trình trên ta được:

\(2\left( {C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}} \right) = {2^{2n + 1}} \Rightarrow C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n}}\)

Do đó \({2^{2n}} = 1024 \Leftrightarrow {2^{2n}} = {2^{10}} \Leftrightarrow n = 5\).

Chọn B