Tổng các nghiệm dương bé hơn \(2\pi \)của phương t...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Giải phương trình bằng công thức nghiệm.

+) Từ công thức nghiệm tìm số nguyên k  để tìm nghiệm thỏa mãn bài toán và tính tổng các nghiệm đó.               

Giải chi tiết:

\(2\cos 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\2x =  - \frac{{2\pi }}{3} + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x =  - \frac{\pi }{3} + m\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k,\;m \in \mathbb{Z}} \right).\)

Phương trình đã cho có các nghiệm dương nhỏ hơn \(2\pi \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < \frac{\pi }{3} + k\pi  < 2\pi  \Leftrightarrow  - \frac{1}{3} < k < \frac{5}{3} \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3}\\x = \frac{{4\pi }}{3}\end{array} \right.\\0 <  - \frac{\pi }{3} + m\pi  < 2\pi  \Leftrightarrow \frac{1}{3} < m < \frac{7}{3} \Leftrightarrow m \in \left\{ {1;2} \right\} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{{5\pi }}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Tổng các nghiệm: \(\frac{\pi }{3} + \frac{{4\pi }}{3} + \frac{{2\pi }}{3} + \frac{{5\pi }}{3} = 4\pi .\)

Chọn C.