Tổng của nghiệm dương bé nhất và nghiệm âm lớn nhấ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức: \(\sin \left( {\frac{{5\pi }}{2} - x} \right) = \sin \left( {2\pi  + \frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x;\;\;{\cos ^2}\left( {3\pi  - x} \right) = {\left( { - \cos x} \right)^2} = co{s^2}x.\)

+) Biến đổi về dạng \(a\sin x + b\cos x = c.\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;{\sin ^4}x - {\cos ^4}x - {\sin ^2}x = {\cos ^2}\left( {3\pi  - x} \right) + 2\sin x.\sin \left( {\frac{{5\pi }}{2} - x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right) = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x.\cos x\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x - {\cos ^2}x = 1 + 2\sin x.\cos x\\ \Leftrightarrow  - \cos 2x = 1 + \sin 2x\\ \Leftrightarrow \sin 2x + \cos 2x =  - 1\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) =  - 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{4} = \pi  + \frac{\pi }{4} + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\2x = \pi  + m2\pi \end{array} \right.\;\; \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \frac{\pi }{2} + m\pi \end{array} \right.\;\;\left( {k,\;m \in Z} \right).\end{array}\)

Ta thấy phương trình có nghiệm dương nhở nhất là: \(x = \frac{\pi }{2}\) khi \(m = 0\) có nghiệm âm lớn nhất là \(x =  - \frac{\pi }{4}\)  khi \(k = 0.\)

\( \Rightarrow \) Tổng hai nghiệm là: \(S = \frac{\pi }{2} + \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{4}.\)

Chọn A.