Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng \(\left(...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức:  \(a\sin x + b\cos x = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x} \right) = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sin (x + \alpha )\)

+) Đưa về hàm \(\cos x = \cos a \Leftrightarrow x =  \pm a + k2\pi .\)

+) Tìm được nghiệm của phương trình, ta tìm nghiệm thuộc \(\left( {0;\;\pi } \right).\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\sqrt 2 \cos 3x = \sin x + \cos x \Leftrightarrow \cos 3x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sin x + \cos x} \right)\\ \Leftrightarrow \cos 3x = \cos x.\cos \frac{\pi }{4} + \sin x.\sin \frac{\pi }{4}\\ \Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = x - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\3x =  - x + \frac{\pi }{4} + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{8} + k\pi \\x = \frac{\pi }{{16}} + m\frac{\pi }{2}\end{array} \right.{\rm{      }}\left( {k,\;m \in Z} \right)\end{array}\)\(\)\(\).

Phương trình có nghiệm \(x \in \left( {0;\,\pi } \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}0 <  - \frac{\pi }{8} + k\pi  < \pi \\0 < \frac{\pi }{{16}} < m\frac{\pi }{2} < \pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{8} < k < \frac{9}{8} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow x = \frac{{7\pi }}{8}\\ - \frac{1}{8} < m < \frac{{15}}{8} \Rightarrow m \in \left\{ {0;\,1} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{{16}};\,\frac{{9\pi }}{{16}}} \right\}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow S = \frac{{7\pi }}{8} + \frac{\pi }{{16}} + \frac{{9\pi }}{{16}} = \frac{{3\pi }}{2}.\)

Chọn C