Cho hàm số \(y = 4{\sin ^2}x - 4m\sin x + 2\) là ....

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Viết hàm số dưới dạng \({y_{Min}} = 2 - {m^2}\)\(y = 4{\sin ^2}x - 4m\sin x + 2 = {\left( {2\sin x - m} \right)^2} + 2 - {m^2}\)

- Biện luận theo m điều kiện có nghiệm của phương trình \(2\sin x - m = 0\), từ đó xác định các khoảng giá trị của m

- Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên các khoảng, so sánh để tìm được số lớn nhất.

Giải chi tiết:

Ta có:  \(y = 4{\sin ^2}x - 4m\sin x + 2 = {\left( {2\sin x - m} \right)^2} + 2 - {m^2}\)

Nếu phương trình: \(2\sin x - m = 0\)có nghiệm, tức là \(\left| m \right| \le 2\), thì \({y_{Min}} = 2 - {m^2} \le 2\) khi \(m = 0\).

Xét \(m > 2\), như vậy thì: \(0 < m - 2 \le \left| {2\sin x - m} \right| \le m + 2\). Suy ra: \({y_{Min}} = {\left( {m - 2} \right)^2} + 2 - {m^2} = 6 - 4m <  - 2\)

Xét \(m <  - 2\), như vậy thì: \(0 <  - m - 2 \le \left| {2\sin x - m} \right| \le  - m + 2\). Suy ra: \({y_{Min}} = {\left( { - m - 2} \right)^2} + 2 - {m^2} = 6 + 4m <  - 2\)

Vậy với \(m = 0\) thì giá trị nhỏ nhất của hàm số là lớn nhất \({y_{Min}} = 2\), khi đó \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Chọn A.