Cho hàm số $y = 4{\sin ^2}x - 4m\sin x + 2$ là ....

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Viết hàm số dưới dạng ${y_{Min}} = 2 - {m^2}$$y = 4{\sin ^2}x - 4m\sin x + 2 = {\left( {2\sin x - m} \right)^2} + 2 - {m^2}$

- Biện luận theo m điều kiện có nghiệm của phương trình $2\sin x - m = 0$, từ đó xác định các khoảng giá trị của m

- Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên các khoảng, so sánh để tìm được số lớn nhất.

Giải chi tiết:

Ta có:  $y = 4{\sin ^2}x - 4m\sin x + 2 = {\left( {2\sin x - m} \right)^2} + 2 - {m^2}$

Nếu phương trình: $2\sin x - m = 0$có nghiệm, tức là $\left| m \right| \le 2$, thì ${y_{Min}} = 2 - {m^2} \le 2$ khi $m = 0$.

Xét $m > 2$, như vậy thì: $0 < m - 2 \le \left| {2\sin x - m} \right| \le m + 2$. Suy ra: ${y_{Min}} = {\left( {m - 2} \right)^2} + 2 - {m^2} = 6 - 4m <  - 2$

Xét $m <  - 2$, như vậy thì: $0 <  - m - 2 \le \left| {2\sin x - m} \right| \le  - m + 2$. Suy ra: ${y_{Min}} = {\left( { - m - 2} \right)^2} + 2 - {m^2} = 6 + 4m <  - 2$

Vậy với $m = 0$ thì giá trị nhỏ nhất của hàm số là lớn nhất ${y_{Min}} = 2$, khi đó $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Chọn A.