Tìm \(n\) để \(13|{{3}^{2n}}+{{3}^{n}}+1\).

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét các trường hợp của n và đánh giá.

Giải chi tiết:

TH1: \(n = 3k\)

Ta có: \({3^{2n}} + {3^n} + 1 = {3^{2.3k}} + {3^{3k}} + 1 = {27^{2k}} + {27^k} + 1\)

           \(={{\left( 2.13+1 \right)}^{2k}}+{{\left( 2.13+1 \right)}^{k}}+1=\left( 13A+1 \right)+\left( 13B+1 \right)+1\) không chia hết cho 13.

TH2: \(n=3k+1\)

Ta có: \({3^{2n}} + {3^n} + 1 = {3^{2(3k + 1)}} + {3^{3k + 1}} + 1\)

            \(\begin{array}{l} = {9.3^{2.3k}}{3.3^{3k}} + 1 = {9.27^{2k}} + {3.27^k} + 1\\ = 9{\left( {2.13 + 1} \right)^{2k}} + 3{\left( {2.13 + 1} \right)^k} + 1\\ = 9\left( {13A + 1} \right) + 3\left( {13B + 1} \right) + 1\end{array}\)

            \(=9.13A+3.13B+13=13\left( 9A+3B+1 \right)\) chia hết cho 13.

TH3: \(\)

Ta có: \({3^{2n}} + {3^n} + 1 = {3^{2(3k + 2)}} + {3^{3k + 2}} + 1\)

\(\begin{array}{l} = {81.27^{2k}} + {9.27^k} + 1 = 81{\left( {2.13 + 1} \right)^{2k}} + 9{\left( {2.13 + 1} \right)^k} + 1\\ = 81\left( {13A + 1} \right) + 9\left( {13B + 1} \right) + 1 = 81.13A + 9.13B + 91\end{array}\)

\(=13\left( 81A+9B+7 \right)\) chia hết cho 13.

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}n = 3k + 1\\n = 3k + 2\end{array} \right.\)thì  \(13|{{3}^{2n}}+{{3}^{n}}+1\) hay \(3\not |n\) thì \(13|{3^{2n}} + {3^n} + 1\).