Cho hàm số \(f\left( x \right)={...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Ta có đồ thị hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x\) như sau:

Dựa vào đồ thị hàm số ta có thể suy ra số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right)=m\) như sau:

\(\left[ \begin{align}  & m<0 \\ & m>4 \\\end{align} \right.\Rightarrow \) phương trình có 1 nghiệm duy nhất.

\(\left[ \begin{align}  & m=0 \\ & m=4 \\\end{align} \right.\Rightarrow \) phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

\(0<m<4\Rightarrow \) phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Xét phương trình \({{f}^{2}}\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{\left( f\left( x \right) \right)}^{3}}-6{{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}+9f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & f\left( x \right)=0 \\  & f\left( x \right)=3 \\ \end{align} \right.\)

Ta thấy phương trình \(f\left( x \right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt, phương trình \(f\left( x \right)=3\) có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình \({{f}^{2}}\left( x \right)=0\) có 5 nghiệm phân biệt

Xét phương trình \({{f}^{3}}\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)=0\Leftrightarrow {{\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)}^{3}}-6{{\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)}^{2}}+9{{f}^{2}}\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{f}^{2}}\left( x \right)=0 \\  & {{f}^{2}}\left( x \right)=3 \\ \end{align} \right.\)

Phương trình \({{f}^{2}}\left( x \right)=0\) có 2 + 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình \({{f}^{2}}\left( x \right)=3\Leftrightarrow {{\left( f\left( x \right) \right)}^{3}}-6{{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}+9f\left( x \right)=3\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & f\left( x \right)\approx 3,88\in \left( 0;4 \right) \\  & f\left( x \right)\approx 1,65\in \left( 0;4 \right) \\  & f\left( x \right)\approx 0,46\in \left( 0;4 \right) \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \) phương trình \({{f}^{2}}\left( x \right)=3\) có 9 nghiệm phân biệt. Vậy phương trình \({{f}^{3}}\left( x \right)=0\) có \(2+3+{{3}^{2}}\) nghiệm phân biệt.

Xét phương trình \({{f}^{4}}\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( {{f}^{3}}\left( x \right) \right)=0\Leftrightarrow {{\left( {{f}^{3}}\left( x \right) \right)}^{3}}-6{{\left( {{f}^{3}}\left( x \right) \right)}^{2}}+9{{f}^{3}}\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{f}^{3}}\left( x \right)=0 \\  & {{f}^{3}}\left( x \right)=3 \\ \end{align} \right.\)

Phương trình \({{f}^{3}}\left( x \right)=0\) có  nghiệm phân biệt (cmt).

Phương trình

\({{f}^{3}}\left( x \right)=3\Leftrightarrow {{\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)}^{3}}-6{{\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)}^{2}}+9{{f}^{2}}\left( x \right)=3\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & {{f}^{2}}\left( x \right)\approx 3,88\in \left( 0;4 \right) \\  & {{f}^{2}}\left( x \right)\approx 1,65\in \left( 0;4 \right) \\  & {{f}^{2}}\left( x \right)\approx 0,46\in \left( 0;4 \right) \\ \end{align} \right.\)

Biện luận tương tự như trên ta thấy mỗi phương trình \({{f}^{2}}\left( x \right)=m\) có 9 nghiệm phân biệt. Vậy phương trình \({{f}^{4}}\left( x \right)=0\) có \(2+3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}\) nghiệm.

Cứ như vậy ta tính được phương trình \({{f}^{8}}\left( x \right)=0\) có \(2+3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+...+{{3}^{7}}=2+\frac{3\left( 1-{{3}^{7}} \right)}{1-3}=3281\) nghiệm.

Chọn A.