Cho đường tròn (O) bán kính R và một dây BC cố địn...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 +) Dựa vào dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp để chứng minh tứ giác nội tiếp.

+) Chứng minh các góc cùng nhìn một đoạn thẳng thì bằng nhau. Từ đó chứng minh các cặp goác bằng nhau và chứng minh tia phân giác.

+) Chứng minh tiếp tuyến dựa vào các tính chất của tiếp tuyến. Ở bài này ta chứng minh 2 góc cùng chắn 1 cung bằng nhau trong đó có 1 góc nội tiếp thì góc còn lại là góc được tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

Giải chi tiết:

a)             Tứ giác ABCM là tứ giác nội tiếp (O) nên \(\widehat{ABC}+\widehat{AMC}={{180}^{0}}\) (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)

Mà \(\widehat{AMD}+\widehat{AMC}={{180}^{0}}\) (kề bù)

Suy ra \(\widehat{AMD}=\widehat{ABC}\)

Ta có: \(\widehat{AMB}\) nội tiếp chắn cung AB, \(\widehat{ABC}\) nội tiếp chắn cung AC ⇒\(\widehat{AMB}\) =\(\widehat{ABC}\) (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Mà \(\widehat{AMD}=\widehat{ABC}\) (cmt) ⇒\(\widehat{AMB}\) =\(\widehat{AMD}\)

Vậy MA là tia phân giác của \(\widehat{BMD}\)

b)                  Xét tam giác MBD có MA là đường cao đồng thời là phân giác \(\Rightarrow \Delta MBD\) cân tại M

Suy ra MI là trung trực của BD

Vì A là điểm chính giữa cung BC nên OA là trung trực của BC

Mà \(OA\cap MI=A\)

Vậy A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

Ta có: \(\widehat{BDC}+\widehat{AMD}={{90}^{0}}\)

Mà \(\widehat{AMD}=\widehat{ABC}\) nên \(\widehat{BDC}+\widehat{ABC}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{BDC}={{90}^{0}}-\widehat{ABC}\)

Vì B, C cố định nên A cố định nên \(\widehat{ABC}\) có độ lớn không đổi. Vậy \(\widehat{BDC}\) có độ lớn không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

c)                  Ta có: \(\widehat{ABC}=\widehat{BFA}\) (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF ta có: \(\widehat{BFA}\) là góc nội tiếp chắn cung BE.

                                                                           \(\widehat{ABC}\) là góc tạo bởi dây cung BE và đoạn AB.

Vậy AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF.