Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Xác định tọa độ B, C

- Tìm các vecto \(\overrightarrow u  = k\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow v  = l\overrightarrow {AC} ,\,(k,l > 0)\) sao cho \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow v } \right|\)

Từ đó suy ra VTCP của đường phân giác trong góc A là  \(\overrightarrow a  = \overrightarrow u  + \overrightarrow v \)

 - Viết phương trình phương trình đường phân giác trong góc A.

Giải chi tiết:

Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng qua A vuông góc CH, khi đó, \(\left( \alpha  \right)\)nhận \(\overrightarrow {{u_{CH}}}  = (16; - 13;5)\) là VTPT. Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là:  \(16.(x - 1) - 13(y - 2) + 5(z - 3) = 0 \Leftrightarrow 16x - 13y + 5z - 5 = 0\)

\(B \in BM \Rightarrow \)Gọi \(B(5{t_B};0;1 + 4{t_B})\)

\(B \in \left( \alpha  \right) \Rightarrow \)\(16.5{t_B} - 13.0 + 5\left( {1 + 4{t_B}} \right) - 5 = 0 \Leftrightarrow {t_B} = 0 \Rightarrow B(0;0;1)\)

\(CH:\,\,\frac{{x - 4}}{{16}} = \frac{{y + 2}}{{ - 13}} = \frac{{z - 3}}{5} \Rightarrow CH\)có phương trình tham số:  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 16t\\y =  - 2 - 13t\\z = 3 + 5t\end{array} \right.\)

Gọi \(C\left( {4 + {t_C}; - 2 - 13{t_C};3 + 5{t_C}} \right)\)

M là trung điểm của AC \( \Rightarrow M\left( {\frac{{5 + 16{t_C}}}{2}; - \frac{{13{t_C}}}{2};\frac{{6 + 5{t_C}}}{2}} \right)\)

\(M \in BM \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{5 + 16{t_C}}}{2} = 5t\\ - \frac{{13{t_C}}}{2} = 0\\\frac{{6 + 5{t_C}}}{2} = 1 + 4{t_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_C} = 0\\t = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {4; - 2;3} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1; - 2; - 2),\,\,\,\overrightarrow {AC}  = (3; - 4;0) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = 3,\,\,\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 5\)

Lấy \(\overrightarrow u  = 5\overrightarrow {AB}  = \left( { - 5; - 10; - 10} \right),\,\,\overrightarrow v  = 3\overrightarrow {AC}  = \left( {9; - 12;0} \right)\), khi đó  \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow v } \right|\) và \(\overrightarrow u  \nearrow  \nearrow \overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow v  \nearrow  \nearrow \overrightarrow {AC} \)

Đường phân giác trong d của góc A có VTCP:  \(\overrightarrow a  = \overrightarrow u  + \overrightarrow v  = \left( {4; - 22; - 10} \right)\)

\( \Rightarrow \)\((d)\) nhận \(\left( { - 2;11;5} \right)\) làm VTCP  \( \Rightarrow (d):\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 11}} = \frac{{ - 3}}{{ - 5}}\).

Chọn: A