Chóp S.ABCD, \(SA \bot \left( {ABCD} \right);\,\,S...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Nối \(AC \cap BD = I\)

Vẽ

\(\begin{array}{l}BH \bot SC\,\,\left( 1 \right)\\\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\\ \Rightarrow BD \bot SC\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow SC \bot \left( {BDH} \right) \Rightarrow SC \bot IH\)

\(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \)

\({\Delta _v}SAC\) có: \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = \frac{{3a}}{{\sqrt 2 }}\)

\({\Delta _v}IHC \sim {\Delta _v}SAC \Rightarrow \frac{{IH}}{{IC}} = \frac{{SA}}{{SC}} \Rightarrow IH = \frac{{IC.SA}}{{SC}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{2}}}{{\frac{{3a}}{{\sqrt 2 }}}} = \frac{a}{2}\)

\(\Delta BDH\) có \(IH\) là trung tuyến; \(IH = \frac{a}{2} = \frac{{BD}}{2}\) \( \Rightarrow \Delta BHD\) vuông ở H \( \Rightarrow BH \bot HD\,\,\left( 3 \right)\)

Từ (1); (3) \( \Rightarrow BH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SCD} \right)\)