Tìm \(n\in Z\) sao cho: \(A=\frac{3n+4}{2n-1}\) l...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Để \(\frac{a}{b}\) là số nguyên khi và chỉ khi \(a\vdots b\)

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
A = \frac{{3n + 4}}{{2n - 1}}\left( {n \in Z} \right) \Leftrightarrow \left( {3n + 4} \right) \vdots \left( {2n - 1} \right)\\
\Leftrightarrow 2\left( {3n + 4} \right) \vdots \left( {2n - 1} \right) \Leftrightarrow \left( {6n + 8} \right) \vdots \left( {2n - 1} \right)\\
\Leftrightarrow 3\left( {2n - 1} \right) + 11 \vdots \left( {2n - 1} \right)
\end{array}\)

Vì \(3\left( 2n-1 \right)\vdots \left( 2n-1 \right)\) nên để \(A \in Z \Leftrightarrow 11 \vdots \left( {2n - 1} \right) \Leftrightarrow 2n - 1 \in U(11)\) 

Mà:  \(U(11)=\left\{ \pm 1;\pm 11 \right\}\) nên ta có:

-        TH1: \(2n - 1 = 1 \Leftrightarrow 2n = 2 \Leftrightarrow n = 1\left( {tm} \right)\)

-        TH2: \(2n - 1 =  - 1 \Leftrightarrow 2n = 0 \Leftrightarrow n = 0\left( {tm} \right)\)

-        TH3: \(2n-1=11\Leftrightarrow 2n=12\Leftrightarrow n=6\left( tm \right)\)

-        TH4: \(2n - 1 =  - 11 \Leftrightarrow 2n =  - 10 \Leftrightarrow n =  - 5\left( {tm} \right)\)

Vậy để A là số nguyên thì \(n \in \left\{ {1;0;6; - 5} \right\}\).

Chọn B