Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

- Hướng dẫn giải

Ta có:$T=\frac{\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=\frac{x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}$

Do  $x>1,y>1$ nên $x-1>0, y-1>0$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương $\frac{x^2}{y-1}, \frac{y^2}{x-1}$ ta có:

$$\begin{gathered} \left(x-1\right)+1\ge 2\sqrt{x-1}\iff {\left(\sqrt{x-1}-1\right)}^2\ge 0\iff x-2\sqrt{x-1}\ge 0\iff \frac{x}{\sqrt{x-1}}\ge 2 \\ \left(y-1\right)+1\ge 2\sqrt{y-1}\iff {\left(\sqrt{y-1}-1\right)}^2\ge 0\iff y-2\sqrt{y-1}\ge 0\iff \frac{x}{\sqrt{y-1}}\ge 2 \end{gathered}$$

Do đó: $T=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge \frac{2xy}{\sqrt{x-1}.\sqrt{y-1}}\ge 8$

Dấu “=” xẩy ra khi $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{y-1}=\frac{y^2}{x-1}\\ x-1=1\\ y-1=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=2\end{array}\right.$  (thỏa mãn điều kiện)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thứcT= 8 khi x=y= 2