Cho $P\left( x \right)$là đa thức bậc ba thỏa mã...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của phép chia đa thức và giải hệ phương trình.

Giải chi tiết:

$P\left( x \right)$ chia cho ${x^2} + 3$ dư $2x + 1$ suy ra $P\left( x \right) = Q\left( x \right).\left( {{x^2} + 3} \right) + 2x + 1,$ với $Q\left( x \right)$ là đa thức bậc nhất, tức là $P\left( x \right) = \left( {ax + b} \right)\left( {{x^2} + 3} \right) + 2x + 1.$

Thay $x = 1,$ ta được: $\left( {a + b} \right)\left( {1 + 3} \right) + 3 = 2$

Thay $x = 2,$ ta được: $\left( {2a + b} \right)\left( {4 + 1} \right) + 5 = 5$

Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}4a + 4b =  - 1\\10a + 5b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{4}\\b =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right..$ Suy ra $P\left( x \right) = \left( {\dfrac{1}{4}x - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {{x^2} + 3} \right) + 2x + 1.$

Vậy $P\left( {2020} \right) = 2058567355$.