Cho \(P\left( x \right)\)là đa thức bậc ba thỏa mã...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của phép chia đa thức và giải hệ phương trình.

Giải chi tiết:

\(P\left( x \right)\) chia cho \({x^2} + 3\) dư \(2x + 1\) suy ra \(P\left( x \right) = Q\left( x \right).\left( {{x^2} + 3} \right) + 2x + 1,\) với \(Q\left( x \right)\) là đa thức bậc nhất, tức là \(P\left( x \right) = \left( {ax + b} \right)\left( {{x^2} + 3} \right) + 2x + 1.\)

Thay \(x = 1,\) ta được: \(\left( {a + b} \right)\left( {1 + 3} \right) + 3 = 2\)

Thay \(x = 2,\) ta được: \(\left( {2a + b} \right)\left( {4 + 1} \right) + 5 = 5\)

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 4b =  - 1\\10a + 5b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{4}\\b =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right..\) Suy ra \(P\left( x \right) = \left( {\dfrac{1}{4}x - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {{x^2} + 3} \right) + 2x + 1.\)

Vậy \(P\left( {2020} \right) = 2058567355\).