Tìm tất cả các số nguyên dương \(x,y\) sao cho \({...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Ta coi \(x\) là ẩn còn \(y\) là tham số rồi đưa phương trình trên về dạng \(A{x^2} + Bx + C = 0\)sau đó xét \({\Delta _x} \ge 0\) để giới hạn khoảng giá trị của biến.

Giải chi tiết:

Ta có phương trình bậc hai ẩn \(x:\)

\(\begin{array}{l}{x^2} - \left( {y + 2} \right)x + {y^2} - 2y = 0\\{\Delta _x} \ge 0 \Leftrightarrow  - 3{y^2} + 12y + 4 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{6 - 4\sqrt 3 }}{3}\left( { \approx  - 0,3} \right) \le y \le \frac{{6 + 4\sqrt 3 }}{3}\left( { \approx 4,3} \right)\end{array}\)

Vì \(x,y \in \mathbb{Z}\) nên \(y = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\)

TH1: Với \(y = 0 \Rightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left( {0;0} \right),\left( {2;0} \right)\)

TH2: Với \(y = 1 \Rightarrow {x^2} - 3x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}\left( {ktm} \right)\\x = \frac{{3 - \sqrt {13} }}{2}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

TH3: Với \(y = 2 \Rightarrow {x^2} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left( {0;2} \right),\left( {4;2} \right)\)

TH4: Với \(y = 3 \Rightarrow {x^2} - 5x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5 + \sqrt {13} }}{2}\left( {ktm} \right)\\x = \frac{{5 - \sqrt {13} }}{2}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

TH5: Với \(y = 4 \Rightarrow {x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left( {4;4} \right),\left( {2;4} \right)\)

Vậy phương trình có các nghiệm nguyên \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right),\left( {2;0} \right),\left( {0;2} \right),\left( {4;2} \right),\left( {2;4} \right),\left( {4;4} \right)\).

Chọn A.