1) Cho biểu thức \(P = ab\left( {a + b} \right) +...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Sử dụng tính chất chia hết.

2) Sử dụng tính chất của lũy thừa và số nguyên tố.

Giải chi tiết:

1) Cho biểu thức \(P = ab\left( {a + b} \right) + 2,\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên. Chứng minh nếu giá trị của biểu thức \(P\) chia hết cho \(3\) thì \(P\) chia hết cho \(9.\)

Theo đề bài ta có: \(P\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow ab\left( {a + b} \right)\) không chia hết cho \(3 \Rightarrow a,\,\,b\) không chia hết cho \(3.\)

+) TH1: \(a,\,\,b\) có số dư khác nhau khi chia cho \(3.\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\) chia \(3\) dư \(1\) và \(b\) chia \(3\) dư \(2.\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 3{k_1} + 1\\b = 3{k_2} + 2\end{array} \right.\,\,\,\left( {{k_1},\,\,{k_2} \in \mathbb{Z}} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = \left( {3{k_1} + 1} \right)\left( {3{k_2} + 2} \right)\left( {3{k_1} + 1 + 3{k_2} + 2} \right) + 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {3{k_1} + 1} \right)\left( {3{k_2} + 2} \right)\left( {3{k_1} + 3{k_2} + 3} \right) + 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\left( {3{k_1} + 1} \right)\left( {3{k_2} + 2} \right)\left( {{k_1} + {k_2} + 1} \right) + 2\end{array}\)

Ta có:\(3\left( {3{k_1} + 1} \right)\left( {3{k_2} + 2} \right)\left( {{k_1} + {k_2} + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow P\) không chia hết cho \(3.\)

+) TH2: \(a,\,\,b\) có cùng số dư khi chia cho \(3.\)

Với \(a,\,\,b\) chia \(3\) dư \(1.\) Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 3{k_1} + 1\\b = 3{k_2} + 1\end{array} \right.\,\,\,\left( {{k_1},\,\,{k_2} \in \mathbb{Z}} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = \left( {3{k_1} + 1} \right)\left( {3{k_2} + 1} \right)\left( {3{k_1} + 1 + 3{k_2} + 1} \right) + 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {9{k_1}{k_2} + 3{k_1} + 3{k_2} + 1} \right)\left( {3{k_1} + 3{k_2} + 2} \right) + 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {9{k_1}{k_2} + 3{k_1} + 3{k_2}} \right)\left( {3{k_1} + 3{k_2} + 2} \right) + \left( {3{k_1} + 3{k_2} + 2} \right) + 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\left( {3{k_1}{k_2} + {k_1} + {k_2}} \right)\left( {3{k_1} + 3{k_2} + 2} \right) + 3\left( {{k_1} + {k_2}} \right) + 4.\end{array}\)

Vì \(3\left( {3{k_1}{k_2} + {k_1} + {k_2}} \right)\left( {3{k_1} + 3{k_2} + 2} \right) + 3\left( {{k_1} + {k_2}} \right)\,\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow P\) không chia hết cho \(3.\)

Với \(a,\,\,b\) chia \(3\) dư \(2.\) Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 3{k_1} + 2\\b = 3{k_2} + 2\end{array} \right.\,\,\,\left( {{k_1},\,\,{k_2} \in \mathbb{Z}} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = \left( {3{k_1} + 2} \right)\left( {3{k_2} + 2} \right)\left( {3{k_1} + 2 + 3{k_2} + 2} \right) + 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {9{k_1}{k_2} + 6{k_1} + 6{k_2} + 4} \right)\left( {3{k_1} + 3{k_2} + 4} \right) + 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {9{k_1}{k_2} + 6{k_1} + 6{k_2}} \right)\left( {3{k_1} + 3{k_2} + 4} \right) + 4\left( {3{k_1} + 3{k_2} + 4} \right) + 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\left( {3{k_1}{k_2} + 2{k_1} + 2{k_2}} \right)\left( {3{k_1} + 3{k_2} + 4} \right) + 3\left( {4{k_1} + 4{k_2}} \right) + 18\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 9\left( {3{k_1}{k_2} + 2{k_1} + 2{k_2}} \right)\left( {{k_1} + {k_2}} \right) + 12\left( {3{k_1}{k_2} + 2{k_1} + 2{k_2}} \right) + 12\left( {{k_1} + {k_2}} \right) + 18\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 9\left( {3{k_1}{k_2} + 2{k_1} + 2{k_2}} \right)\left( {{k_1} + {k_2}} \right) + 12\left( {3{k_1}{k_2} + 3{k_1} + 3{k_2}} \right) + 18\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 9\left( {3{k_1}{k_2} + 2{k_1} + 2{k_2}} \right)\left( {{k_1} + {k_2}} \right) + 36\left( {{k_1}{k_2} + {k_1} + {k_2}} \right) + 18\end{array}\)

\( \Rightarrow P\,\, \vdots \,\,\,9\) và \(P\,\, \vdots \,\,3.\)

Vậy nếu \(P\,\, \vdots \,\,\,3\) thì \(P\,\, \vdots \,\,9.\)

2) Tìm tất cả các số tự nhiên \(x\) để giá trị của biểu thức \(P = {x^3} + 3{x^2} + x + 3\) là lũy thừa của một số nguyên tố.

Với \(x = 1 \Rightarrow P = 1 + 3 + 1 + 3 = 8 = {2^3}\)

\( \Rightarrow P\) là lũy thừa của một số nguyên tố.

Xét với \(x \ge 2\) ta có: \({x^3} + 3{x^2} + x + 3 = {x^2}\left( {x + 3} \right) + \left( {x + 3} \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right) = {m^k}\)  với \(m\) là số nguyên tố.

Khi đó ta đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 = {m^a}\\{x^2} + 1 = {m^b}\end{array} \right.,\,\,\,\left( {a;\,\,b;\,\,k \in {\mathbb{Z}^ + };\,\,\,k = a + b} \right).\) 

Ta có: \(x \ge 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ge 5\\{x^2} + 1 \ge x + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} + 1 \ge x + 3 \ge 5 \Rightarrow a \le b.\)

\( \Rightarrow \frac{{{x^2} + 1}}{{x + 3}} = \frac{{{x^2} - 9 + 10}}{{x + 3}} = x - 3 + \frac{{10}}{{x + 3}} = {p^{b - a}} \in \mathbb{Z}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 10\,\, \vdots \,\,x + 3 \Rightarrow x + 3 \in U\left( {10} \right) = \left\{ {5;\,\,10} \right\}\,\,\,\,\left( {do\,\,\,x + 3 \ge 5} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 5\\x + 3 = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 7\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Thử lại:

+)  Với \(x = 2 \Rightarrow P = {2^3} + {3.2^2} + 2 + 3 = 25 = {5^2}\,\,\,\left( {tm} \right).\)

+)  Với \(x = 7 \Rightarrow P = {7^3} + {3.7^2} + 7 + 3 = 500\,\,\left( {ktm} \right).\)

Vậy \(x = 1,\,\,x = 2\) thỏa mãn bài toán.

Chọn A.