Cho ba số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(\dfrac...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nhận xét và đánh giá giả thiết đề bài.

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{a}{{b - c}} + \dfrac{b}{{c - a}} + \dfrac{c}{{a - b}} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{b - c}} = \dfrac{b}{{a - c}} + \dfrac{c}{{b - a}} = \dfrac{{{b^2} - ab + ac - {c^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {c - a} \right)}}\end{array}\)

Nhân cả 2 vế với \(\), ta được: \(\dfrac{a}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} = \dfrac{{{b^2} - ab + ac - {c^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {c - a} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

Tương tự:

\(\begin{array}{l}\dfrac{b}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} = \dfrac{{{c^2} - bc + ba - {a^2}}}{{\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)}}\\\dfrac{c}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = \dfrac{{{a^2} - ac + bc - {b^2}}}{{\left( {c - a} \right)\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}}\end{array}\)

Ta được: \(\dfrac{a}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \dfrac{b}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \dfrac{c}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = 0\)

Vậy \(\forall \dfrac{a}{{b - c}} + \dfrac{b}{{c - a}} + \dfrac{c}{{a - b}} = 0\) thì \(\dfrac{a}{{{{\left( {b - c} \right)}^2}}} + \dfrac{b}{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}} + \dfrac{c}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}} = 0.\)