Cho tam giác ABC có điểm D di động trên BC (D khác...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Gọi S là giao điểm của DE với đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC.

- Chứng minh tứ giác ABEC nội tiếp, sử dụng định lí: Trong một đường tròn, góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì bằng nhau.

- Sử dụng định lí: Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau, chứng minh cung BS có số đo không đổi, từ đó chứng minh S là điểm cố định.

Giải chi tiết:

Gọi S là giao điểm của DE với đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có:

\(\angle ABC = \angle BED\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BD của đường tròn \(\left( {{O_1}} \right)\)).

\(\angle ACB = \angle CED\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung CD của đường tròn \(\left( {{O_2}} \right)\)).

Suy ra: \(\angle BAC + \angle BEC + \angle CED = \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = {180^0}\)  (tổng ba góc trong tam giác ABC).

\( \Rightarrow \angle BAC + \angle BEC = {180^0}\). Do tứ giác ABEC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).

Xét đường tròn (O) có \(\angle ABC = \angle BED\,\,\,\left( {cmt} \right)\) nên hai cung AC và SB bằng nhau.

Mà cung AC có số đo không đổi nên số đo cung SB không đổi, lại có diểm B cố đỉnh. Do đó S là điểm cố định.

Vậy ED luôn đi qua điểm S cố định.