Cho phương trình: \({x^2} - \left( {m - 1} \right)...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Tính \(\Delta \), để phương trình có 2 nghiệm với mọi \(m \Leftrightarrow \Delta  \ge 0\)  với mọi \(m.\)

b) Sử dụng hệ thức Vi-ét để tính.

c) Biến đổi biểu thức A sao cho chỉ còn \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}.{x_2}\), sử dụng hệ thức Vi-ét thế vào để tính A theo m, thay \(m = 2\) để tính.

Giải chi tiết:

a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiêm \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi m.

Có: \(\Delta  = {\left( {m - 1} \right)^2} - 4.\left( {2m - 6} \right) = {m^2} - 2m + 1 - 8m + 24 = {m^2} - 10m + 25 = {\left( {m - 5} \right)^2} \ge 0\,\,\,\forall m\)

Vậy phương trình luôn có nghiêm \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi m.

b) Tính tổng, tích hai nghiệm theo m.

Phương trình đã cho luôn có nghiêm \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi m.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 1\\{x_1}.{x_2} = 2m - 6\end{array} \right..\)

c) Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}\) khi \(m = 2\).

Phương trình đã cho luôn có nghiêm \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi m.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 1\\{x_1}.{x_2} = 2m - 6\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có:

\(A = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \frac{{{x_1}^2 + {x_2}^2}}{{{x_1}.{x_2}}} = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}.{x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}} = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2}}}{{{x_1}.{x_2}}} - 2 = \frac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{2m - 6}} - 2\)

Khi \(m = 2 \Rightarrow A = \frac{{{{\left( {2 - 1} \right)}^2}}}{{2.2 - 6}} - 2 =  - \frac{1}{2} - 2 =  - \frac{5}{2}.\)

Chọn A.