Tìm 2 chữ số tận cùng của \({2009^{2010}}\).

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Ta tìm số dư khi chia \({2009^{2010}}\) cho \({10^2}\). Sau đó áp dụng định lí Ơle “ Cho \(a,\,\,m\) là hai số nguyên, \(\left( {a;m} \right) = 1\). Ta có \({a^{\varphi (m)}} \equiv 1\) (mod m); \(\varphi (m) = m\left( {1 - \frac{1}{{{p_1}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{p_2}}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{p_k}}}} \right)\) với \(m = p_1^{{\alpha _1}}.p_2^{{\alpha _2}}...p_k^{{\alpha _k}}\)”

Giải chi tiết:

Ta có: \({2009^{2010}} \equiv {9^{2010}}\,\,\,\left( {\bmod 100} \right)\).

Áp dụng định lí Ơle ta có \(\left( {9;100} \right) = 1\) nên \({9^{\mu \left( {100} \right)}} \equiv 1\,\,\left( {\bmod \,\,100} \right)\).

Mà \(\mu \left( {100} \right) = 100.\left( {1 - \frac{1}{2}} \right).\left( {1 - \frac{1}{5}} \right) = 40\).

Hay \({9^{40}} \equiv 1\,\,\left( {\bmod \,\,100} \right) \Rightarrow {9^{2010}} \equiv {9^{10}}\,\,\,\left( {\bmod \,\,100} \right)\).

Mà \({{9}^{10}}=3486784401\equiv 1\,\,\left( \bmod \,\,100 \right)\).

Vậy 2 chữ số tận cùng của \({{2009}^{2010}}\) là \(01\).