Cho đường tròn tâm \(\left( I \right)\) nội tiếp t...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng tam giác đồng dạng.

Giải chi tiết:

Tam giác \(CMN\) có \(CI\) vừa là phân giác, vừa là đường cao \( \Rightarrow \Delta CMN\) cân tại \(C\) \( \Rightarrow IM = IN.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat {AMI} = \widehat {MIC} + \widehat {{C_1}} = {90^0} + \dfrac{{\widehat C}}{2}\\\widehat {BNI} = \widehat {NIC} + \widehat {{C_2}} = {90^0} + \dfrac{{\widehat C}}{2}\end{array}\)

(góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó).

Lại có:

\(\begin{array}{l}\widehat {AIB} = {180^0} - \widehat {{A_1}} - \widehat {{B_1}} = {180^0} - \dfrac{{\widehat A + \widehat B}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {180^0} - \dfrac{{{{180}^0} - \widehat C}}{2} = {90^0} + \dfrac{{\widehat C}}{2}.\end{array}\)

\( \Rightarrow \widehat {AMI} = \widehat {BNI} = \widehat {AIB}\).

Ta có: \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}},\,\,\widehat {AMI} = \widehat {AIB} \Rightarrow \Delta AMI \sim \Delta AIB\,\,\left( {g.g} \right).\)

Chứng minh tương tự: \(\Delta INB \sim \Delta AIB.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta AMI \sim \Delta INB \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{IN}} = \dfrac{{IM}}{{BN}}\\ \Rightarrow AM.BN = IM.IN = I{M^2} = I{N^2}.\end{array}\)