Cho \(a,b,c > 1\). Biết rằng biểu thức \(P = {\...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}},\,\,\left( {a,b > 0;\,\,a,b \ne 1} \right)\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \).

Giải chi tiết:

Do \(a,\;b,\;c > 1\) nên  \({\log _a}b,\,\,{\log _c}a,\,\,{\log _b}c > 0\)

\(\begin{array}{l}P = {\log _a}\left( {bc} \right) + {\log _b}\left( {ac} \right) + 4{\log _c}\left( {ab} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c + {\log _b}a + {\log _b}c + 4{\log _c}a + 4{\log _c}b\\ = \left( {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} \right) + \left( {{{\log }_a}c + 4{{\log }_c}a} \right) + \left( {{{\log }_b}c + 4{{\log }_c}b} \right)\\ = \left( {{{\log }_a}b + \frac{1}{{{{\log }_a}b}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{{\log }_c}a}} + 4{{\log }_c}a} \right) + \left( {{{\log }_b}c + \frac{4}{{{{\log }_b}c}}} \right)\\ \ge 2\sqrt {{{\log }_a}b.\frac{1}{{{{\log }_a}b}}}  + 2\sqrt {\frac{1}{{{{\log }_c}a}}.4{{\log }_c}a}  + 2\sqrt {{{\log }_b}c.\frac{4}{{{{\log }_b}c}}}  = 2 + 4 + 4 = 10.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_a}b}}\\\frac{1}{{{{\log }_c}a}} = 4{\log _c}a\\{\log _b}c = \frac{4}{{{{\log }_c}b}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _a}b = 1\\{\log _c}a = \frac{1}{2}\\{\log _b}c = 2\end{array} \right.\)

Vậy \(P\)  đạt giá trị nhỏ nhất là \(10\) khi \({\log _b}c = 2\,\, \Rightarrow m = 10,\,\,n = 2 \Rightarrow m + n = 12\)

Chọn: C