Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

$d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = \,\,\,\,\, - 6t\\z =  - 1 - 8t\end{array} \right.$ có 1 VTCP $\overrightarrow u \left( {4; - 6; - 8} \right)$

$A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( {3; - 4; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 3; - 4} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 3; - 4} \right)$ cùng phương với $\overrightarrow u \left( {4; - 6; - 8} \right)$. Mà $A\left( {1; - 1;2} \right) \notin d \Rightarrow AB//d \Rightarrow A,B,d$ đồng phẳng

* Xét mặt phẳng chứa $AB$ và $d$:

Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $\Delta$; $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng qua $A$, vuông góc với d

Khi đó, giao điểm $H$ của $\Delta$ với $\left( \alpha  \right)$ là trung điểm của $AA'$

$\left( \alpha  \right)$ có 1 VTPT $\overrightarrow n \left( {2; - 3; - 4} \right)$, đi qua $A\left( {1; - 1;2} \right)$, có phương trình:

$2\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y + 1} \right) - 4\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 3y - 4z + 3 = 0$

$H \in d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = \,\,\,\,\,\, - 6t\\z =  - 1 - 8t\end{array} \right.\,\, \Rightarrow$Giả sử $H\left( {2 + 4t; - 6t; - 1 - 8t} \right)$

$H \in \left( \alpha  \right)\,\, \Rightarrow 2\left( {2 + 4t} \right) - 3\left( { - 6t} \right) - 4\left( { - 1 - 8t} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow 58t + 11 = 0 \Leftrightarrow t =  - \dfrac{{11}}{{58}}\,\,$$\Rightarrow H\left( {\dfrac{{36}}{{29}};\dfrac{{33}}{{29}};\dfrac{{15}}{{29}}} \right)$

Ta có: $IA + IB = IA' + IB \ge A'B\,\, \Rightarrow {\left( {IA + IB} \right)_{\min }} = A'B$ khi và chỉ khi $I$ trùng với ${I_0}$ là giao điểm của $A'B$ và $\Delta$

$H{I_0}$ là đường trung bình của tam giác $A'AB \Rightarrow \overrightarrow {H{I_0}}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{{I_0}}} - \dfrac{{36}}{{29}} = \dfrac{1}{2}.2\\{y_{{I_0}}} - \dfrac{{33}}{{29}} = \dfrac{1}{2}.\left( { - 3} \right)\\{z_{{I_0}}} - \dfrac{{15}}{{29}} = \dfrac{1}{2}.\left( { - 4} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{{I_0}}} = \dfrac{{65}}{{29}}\\{y_{{I_0}}} = \dfrac{{ - 21}}{{58}}\\{z_{{I_0}}} =  - \dfrac{{43}}{{29}}\end{array} \right.$

$\Rightarrow {I_0}\left( {\dfrac{{65}}{{29}}; - \dfrac{{21}}{{58}}; - \dfrac{{43}}{{29}}} \right)$ 

Vậy, để $IA + IB$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $I\left( {\dfrac{{65}}{{29}}; - \dfrac{{21}}{{58}}; - \dfrac{{43}}{{29}}} \right) \Rightarrow a + b + c = \dfrac{{65}}{{29}} - \dfrac{{21}}{{58}} - \dfrac{{43}}{{29}} =  - \dfrac{{21}}{{58}}$.

Chọn: D