Phương trình \(6{\sin ^2}x + 7\sqrt 3 \sin 2x - 8{...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

TH1: Kiểm tra xem \(\cos x=0\,\,\left( \sin x=\pm 1 \right)\) có thỏa mãn là nghiệm của không?

TH2: Khi \(\cos x\ne 0\). Chia 2 vế phương trình cho \({{\cos }^{2}}x\).

Giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(6{\sin ^2}x + 7\sqrt 3 \sin 2x - 8{\cos ^2}x = 6 \Leftrightarrow 6{\sin ^2}x + 14\sqrt 3 \sin x\cos x - 8{\cos ^2}x = 6\,\left( * \right)\)

Trường hợp 1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Khi đó  \({\sin ^2}x = 1\)

Thay vào phương trình (*) ta có:  \(6.1 + 14.0 - 8.0 = 6 \Leftrightarrow 6 = 6\,\,\left( {luôn \, đúng} \right)\)

\( \Rightarrow x = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) là nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).

Chia cả 2 vế của phương trình (*) cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(\eqalign{
& \,\,\,\,\,\,\,6{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} + 14\sqrt 3 {{\sin x} \over {\cos x}} - 8 = {6 \over {{{\cos }^2}x}} \cr
& \Leftrightarrow 6{\tan ^2}x + 14\sqrt 3 \tan x - 8 = 6\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \cr
& \Leftrightarrow 14\sqrt 3 \tan x - 14 = 0 \Leftrightarrow \sqrt 3 {\mathop{\rm tanx}\nolimits} - 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \tan x = {1 \over {\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x = {\pi \over 6} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)

Kết hợp 2 trường hợp ta có nghiệm của phương trình là: \(\left[ \matrix{x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr x = {\pi \over 6} + k\pi \hfill \cr} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Chọn A.