Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho ba đi...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tâm đường tròn ngoại tiếp cách đều 3 đỉnh của tam giác và thuộc mặt phẳng chứa tam giác

Giải chi tiết:

Ta có \(\left\{ \begin{align}  \overrightarrow{AB}=\left( 2;2;1 \right) \\  \overrightarrow{AC}=\left( 1;4;3 \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \,\,\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right]=\left( 2;-\,5;6 \right)\)\(\Rightarrow \) Phương trình \(\left( ABC \right):2x-5y+6z-10=0.\)

Vì \(I\left( a;b;c \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta \,ABC\)\(\Rightarrow \,\,\left\{ \begin{align}  I\in mp\,\,\left( ABC \right) \\  IA=IB=IC \\ \end{align} \right.\)

Lại có 

\(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} = {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} + {\left( {c - 4} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} + {\left( {c - 6} \right)^2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + 1 - 4b + 4 - 6c + 9 =  - 6a + 9 - 8b + 16 - 8c + 16\\ - 2a + 1 - 4b + 4 - 6b + 9 =  - 4a + 4 - 12b + 36 - 12c + 36\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}4a + 4b + 2c = 27\\2a + 8b + 6c = 62\end{array} \right.\end{array}\) 

Kết hợp với \(2a-5b+6c-10=0\)\(\Rightarrow \,\,a=\frac{3}{10};\,\,b=4;\,\,c=\frac{49}{10}.\) Vậy \(S=\frac{46}{5}.\)

Chọn B