Cho \(x,\,y > 0,\,\,x + y = 3\). Giá trị nhỏ nh...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức: \({{{a^2}} \over x} + {{{b^2}} \over y} \ge {{{{(a + b)}^2}} \over {x + y}},\,\,\forall \,a,b,x,y > 0\) (*)

Chứng minh:

\({(a + b)^2} = {\left( {{a \over {\sqrt x }}.\sqrt x  + {b \over {\sqrt y }}.\sqrt y } \right)^2}\mathop  \le \limits^{Bunhiacopski} \left( {{{{a^2}} \over x} + {{{b^2}} \over y}} \right)(x + y) \Rightarrow {{{{(a + b)}^2}} \over {x + y}} \le {{{a^2}} \over x} + {{{b^2}} \over y}\)

Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi \({a \over x} = {b \over y}\).

(Bất đẳng thức Bunhiacopski: (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)², mọi số a,b,c,d. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \({a \over c} = {b \over d}\))

Giải chi tiết:

Áp dụng bất đẳng thức \({{{a^2}} \over x} + {{{b^2}} \over y} \ge {{{{(a + b)}^2}} \over {x + y}},\,\,\forall \,a,b,x,y > 0\), ta có: \(P = {1 \over x} + {4 \over y} = {{{1^2}} \over x} + {{{2^2}} \over y} \ge {{{{(1 + 2)}^2}} \over {x + y}} = {9 \over 3} = 3\)

\( \Rightarrow {P_{\min }} = 3\)  khi và chỉ khi  \(\left\{ \matrix{  {1 \over x} = {2 \over y} \hfill \cr   x + y = 3 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x = 1 \hfill \cr   y = 2 \hfill \cr}  \right.\)

Chọn: A