Tìm tâm sai của (H) biết góc giữa hai đườ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả của Câu 17: \(\cos \varphi  = {{\left| {{b^2} - {a^2}} \right|} \over {{a^2} + {b^2}}}\).

Hyberbol \(\left( H \right):\,\,{{{x^2}} \over {{a^2}}} - {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\) có tâm sai \(e = {c \over a}\).

Giải chi tiết:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H) là: \({{{x^2}} \over {{a^2}}} - {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1,\,\,(a,\,b > 0)\).

Vì góc giữa hai đường tiệm cận của (H) bằng \({60^0} \Rightarrow {{\left| {{b^2} - {a^2}} \right|} \over {{a^2} + {b^2}}} = \cos {60^0} \Leftrightarrow {{\left| {{b^2} - {a^2}} \right|} \over {{a^2} + {b^2}}} = {1 \over 2} \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {{{b^2} - {a^2}} \over {{a^2} + {b^2}}} = {1 \over 2} \hfill \cr   {{{a^2} - {b^2}} \over {{a^2} + {b^2}}} = {1 \over 2} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {b^2} = 3{a^2} \hfill \cr   {a^2} = 3{b^2} \hfill \cr}  \right.\)

Ta có: \({a^2} + {b^2} = {c^2}\)

TH1: \({b^2} = 3{a^2} \Rightarrow {a^2} + 3{a^2} = {c^2} \Leftrightarrow 4{a^2} = {c^2} \Leftrightarrow {{{c^2}} \over {{a^2}}} = 4 \Leftrightarrow {c \over a} = 2 \Leftrightarrow e = 2\)

TH2:  \({a^2} = 3{b^2} \Leftrightarrow {b^2} = {1 \over 3}{a^2}\,\,\,\, \Rightarrow {a^2} + {1 \over 3}{a^2} = {c^2} \Leftrightarrow {4 \over 3}{a^2} = {c^2} \Leftrightarrow {{{c^2}} \over {{a^2}}} = {4 \over 3} \Leftrightarrow {c \over a} = {2 \over {\sqrt 3 }} \Leftrightarrow e = {2 \over {\sqrt 3 }}\)

Vậy, \(e = 2\) hoặc \(e = {2 \over {\sqrt 3 }}\).

Chọn: A.