Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho các điểm \(A\left( {1...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh 3 điểm A, B, C không thẳng hàng hay \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương 

Tọa độ trung điểm của cạnh BC là \(\left( {\frac{{{x_B} + {x_C}}}{2};\frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}} \right).\)

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: \(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right).\)

b) Gọi điểm I(x; y). Tính \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + 2\overrightarrow {IC} \) rồi sử dụng định nghĩa hai vector bằng nhau.

c) Gọi D(x; y). Sử dụng giả thiết AB = 2CD và 2 vector  \(\overrightarrow {AB} \) và  \(\overrightarrow {DC} \) cùng hướng nên \(\overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {DC} .\)

Tính tọa độ \(\overrightarrow {AB} \) và \(2\overrightarrow {DC} \) sau đó sử dụng định nghĩa 2 vector bằng nhau.

Giải chi tiết:

a)\(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;3} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {3; - 3} \right)\)

Do \(\frac{3}{3} \ne \frac{3}{{ - 3}} \Rightarrow \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương. Hay A, B, C là ba đỉnh của tam giác.

Tọa độ trung điểm của BC là \(I = \left( {\frac{{{x_B} + {x_C}}}{2};\frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}} \right) = \left( {\frac{{4 + 4}}{2};\frac{{1 - 5}}{2}} \right) = \left( {4; - 2} \right)\)

Tọa độ trọng tâm  tam giác ABC là 

\(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right) \Rightarrow G\left( {\frac{{1 + 4 + 4}}{3};\frac{{ - 2 + 1 - 5}}{3}} \right) = \left( {3; - 2} \right)\) 

b)

\(\begin{array}{l}I\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( {1 - x; - 2 - y} \right);\overrightarrow {IB} = \left( {4 - x;1 - y} \right);\overrightarrow {IC} = \left( {4 - x; - 5 - y} \right)\\\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {IC} = \left( {13 - 4x; - 11 - 4y} \right)\\ \Rightarrow \left( {13 - 4x; - 11 - 4y} \right) = \overrightarrow 0 = \left( {0;0} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}13 - 4x = 0\\ - 11 - 4y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{13}}{4}\\y = - \frac{{11}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{{13}}{4}; - \frac{{11}}{4}} \right)\end{array}\)

c)\(D\left( {x;y} \right)\). Theo giả thiết ta có AB = 2CD và ABCD là hình thang nên \(\overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {DC} \)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {3;3} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {4 - x, - 5 - y} \right)\\\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left( {3;3} \right) = 2\left( {4 - x; - 5 - y} \right) \Leftrightarrow \left( {3;3} \right) = \left( {8 - 2x; - 10 - 2y} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8 - 2x = 3\\ - 10 - 2y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2}\\y = - \frac{{13}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {\frac{5}{2}; - \frac{{13}}{2}} \right)\end{array}\)