Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số x, y không âm: \(\frac{{x + y}}{2} \ge \sqrt {xy} \,\,\forall x,y \ge 0.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y.

Giải chi tiết:

Ta có: \(x + \frac{5}{{x - 2}} = x - 2 + \frac{5}{{x - 2}} + 2\)

Vì x > 2 nên x – 2 > 0 và \(\frac{5}{{x - 2}} > 0\) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số x – 2 và \(\frac{5}{{x - 2}}\) ta có: 

\(\begin{array}{l}x - 2 + \frac{5}{{x - 2}} \ge 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\frac{5}{{x - 2}}} = 2\sqrt 5 \\ \Rightarrow x + \frac{5}{{x - 2}} = x - 2 + \frac{5}{{x - 2}} + 2 \ge 2\sqrt 5 + 2\end{array}\) 

Vậy \(\min f\left( x \right) = 2\sqrt 5  + 2\). Dấu “=” xảy ra khi 

\(x - 2 = \frac{5}{{x - 2}} \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt 5 \\x = 2 - \sqrt 5 \end{array} \right.\)

Chọn C.