Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác đều c...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC.\) Hạ \(HK\bot AC.\) Hạ \(HI\bot SK.\) Chứng minh \(d\left( B,\left( SAC \right) \right)=2HI.\) Dùng các công thức trong tam giác vuông để tính \(HI.\)

Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC.\)Khi đó \(SH\bot BC.\) Vì \(\left( SBC \right)\bot \left( ABC \right)\) nên \(SH\bot \left( ABC \right).\) Kẻ \(SK\bot AC\). Vì \(SH\bot AC\) nên \(AC\bot \left( SHK \right)\Rightarrow \left( SAC \right)\bot \left( SHK \right).\) Kẻ \(HI\bot SK\,\,\left( I\in SK \right)\Rightarrow HI\bot \left( SAC \right).\)

Ta có: \(\frac{HC}{BC}=\frac{d\left( H;\left( SAC \right) \right)}{d\left( B;\left( SAC \right) \right)}=\frac{1}{2}\Rightarrow d\left( B,\left( SAC \right) \right)=2d\left( H,\left( SAC \right) \right)=2HI.\) Ta có \(HK=HC\sin \widehat{C}=\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}.\)

Tam giác SBC đều cạnh a \(\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)  

Xét tam giác SHK vuông tại H có đường cao HI ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{\frac{{3{a^2}}}{4}}} + \frac{1}{{\frac{{3{a^2}}}{{16}}}} = \frac{{20}}{{3{a^2}}} \Rightarrow HI = \frac{{a\sqrt {15} }}{{10}}\\ \Rightarrow d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}.\end{array}\)

Chọn đáp án C.