Gọi số phức \(z=a+bi\,\left( a,b\in \mathbb{R} \ri...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp. Gọi số phức đã cho có dạng \(z=a+bi\,\left( a,b\in \mathbb{R} \right).\)

Sử dụng giả thiết để đưa ra một hệ cho \(a,b\) giải trực tiếp hệ này để tìm \(a,b.\)

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Ta có \({{1}^{2}}={{\left| z-1 \right|}^{2}}={{\left| \left( a+bi \right)-1 \right|}^{2}}={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}\,\,\left( 1 \right).\)

Do \(z\) không là số thực nên ta phải có \(b\ne 0\,\,\left( 2 \right).\)

Ta lại có

\(1=\operatorname{Re}\left[ \left( 1+i \right)\left( \overline{z}-1 \right) \right]=\operatorname{Re}\left[ \left( 1+i \right)\left( \left( a-bi \right)-1 \right) \right]=\operatorname{Re}\left[ \left( a+b-1 \right)+i\left( a-b-1 \right) \right]=a+b-1\,\,\left( 3 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right),\,\left( 3 \right)\) ta có hệ

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} = 1\\a + b - 1 = 1\\b \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} = 1\\a - 1 = 1 - b\\b \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - b} \right)^2} + {b^2} = 1\\a - 1 = 1 - b\\b \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{b^2} - 2b = 0\\a = 2 - b\\b \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\a = 1\end{array} \right. \Rightarrow ab = 1.\end{array}\)

Chọn đáp án C.