Gọi $S$ là tập hợp các số thực $m$ sao cho với...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp. Gọi $z=a+bi\,\,\left( a,b\in R \right).$ Sử dụng giả thiết để tìm $a,b$suy ra giá trị của $z.$ Sử dụng kết quả này để tìm giá trị của $m$ và kết luận.

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Giả sử $z=a+bi\,\,\left( a,b\in R \right),z\ne 4.$

Khi đó ta có $\frac{z}{z-4}=\frac{a+bi}{\left( a+bi \right)-4}=\frac{\left( a+bi \right)\left( a-4-bi \right)}{\left( a-4+bi \right)\left( a-4-bi \right)}=\frac{a\left( a-4 \right)+{{b}^{2}}+i\left( b\left( a-4 \right)-ab \right)}{{{\left( a-4 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}.$

Để $\frac{z}{z-4}$ là số thuần ảo thì ta phải có $a\left( a-4 \right)+{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-4a+{{b}^{2}}=0\,\left( 1 \right).$

Từ $\left| z-m \right|=6\Leftrightarrow \left| \left( a+bi \right)-m \right|=6\Leftrightarrow {{\left( a-m \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=36\left( 2 \right).$

Từ $\left( 1 \right)$ suy ra ${{b}^{2}}=4a-{{a}^{2}}$thay vào $\left( 2 \right)$ ta nhận được

$\begin{align} & 36={{\left( a-m \right)}^{2}}+\left( 4a-{{a}^{2}} \right) \\ & \Leftrightarrow 36={{a}^{2}}-2am+{{m}^{2}}+4a-{{a}^{2}} \\ & \Leftrightarrow 36=\left( 4-2m \right)a+{{m}^{2}} \\ & \Leftrightarrow 2a\left( m-2 \right)={{m}^{2}}-36\,\,\left( 3 \right). \\ \end{align}$

Nếu $m=2$ thì $\left( 3 \right)$ vô nghiệm.

Nếu $m\ne 2$ thì từ $\left( 3 \right)$ suy ra $a=\frac{{{m}^{2}}-36}{2m-4}.$

Vì ${{b}^{2}}=4a-{{a}^{2}}$ nên để có duy nhất một số phức $z$ thỏa mãn điều kiện đã cho thì $b=0$

Ta nhận được $a=0$ hoặc $a=4.$

Với $a=4$ thì $z=a+bi=4$ .

Loại vì $\frac{z}{z-4}$ là số thuần ảo.Vậy $a=b=0\Rightarrow z=0.$

Khi đó $\frac{{{m}^{2}}-36}{2m-4}=0\Leftrightarrow m=\pm 6.$

Tổng các phần tử của $S$ là $6+\left( -6 \right)=0.$

Chọn đáp án B