Biết rằng \(I=\int\limits_{1}^{e}{\frac{\ln x}{x{{...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt \(t=\ln x\)

Giải chi tiết:

Đặt \(t=\ln x\Leftrightarrow dt=\frac{dx}{x}\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Leftrightarrow t = 0\\x = e \Leftrightarrow t = 1\end{array} \right.\), khi đó ta có

 \(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^1 {\frac{{tdt}}{{{{\left( {2 + t} \right)}^2}}}}  = \int\limits_0^1 {\frac{{2 + t - 2}}{{{{\left( {2 + t} \right)}^2}}}dt}  = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{2 + t}}dt}  - 2\int\limits_0^1 {\frac{1}{{{{\left( {2 + t} \right)}^2}}}dt}  = \\ = \left. {\left( {\ln \left| {2 + t} \right| + \frac{2}{{2 + t}}} \right)} \right|_0^1 = \ln 3 + \frac{2}{3} - \ln 2 - 1 =  - \frac{1}{3} + \ln \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 2a - b = 4\end{array}\)

Chọn C.