Cho \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\cos...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt \(t=\sin x\), đưa về dạng tích phân của hàm hữu tỉ.

+) Phân tích mẫu thành nhân tử và áp dụng công thức \(\int{\frac{1}{ax+b}dx}=\frac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C\)

Giải chi tiết:

Đặt \(t=\sin x\Rightarrow dt=\cos xdx\) . Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x}}{{{{\left( {\sin x} \right)}^2} - 5\sin x + 6}}dx}  = \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{{t^2} - 5t + 6}}}  = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}}  = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{x - 3}} - \frac{1}{{x - 2}}} \right)dx} \\ = \left. {\ln \left| {\frac{{x - 3}}{{x - 2}}} \right|} \right|_0^1 = \ln 2 - \ln \frac{3}{2} = \ln \frac{4}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\\c = 3\end{array} \right. \Rightarrow S = a + b + c = 4\end{array}\)

Chọn B.