Tìm phần ảo của số phức z thoả mãn \(\left( {z - 1...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi \(w = \left( {z - 1} \right)\left( {\overline z  + 2i} \right)\).

Gọi \(z = x + yi\,\,\left( {x;y \in R} \right) \Rightarrow \overline z  = x - yi\).

Thay vào giả thiết, tìm điều kiện để \({\mathop{\rm Im}\nolimits} w = 0\). Rút ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức w.

Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức \(w \Rightarrow \left| w \right| = OM\,\)với \(M \in d \Rightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của O trên d. Tìm M, từ đó suy ra w thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Giải chi tiết:

Gọi \(w = \left( {z - 1} \right)\left( {\overline z  + 2i} \right)\).

Gọi \(z = x + yi\,\,\left( {x;y \in R} \right) \Rightarrow \overline z  = x - yi\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {z - 1} \right)\left( {\overline z  + 2i} \right) = \left( {x + yi - 1} \right)\left( {x - yi + 2i} \right) = \left[ {\left( {x - 1} \right) + yi} \right]\left[ {x - \left( {y - 2} \right)i} \right]\\ = \left( {x - 1} \right)x - \left( {x - 1} \right)\left( {y - 2} \right)i + xyi + y\left( {y - 2} \right)\\ = {x^2} - x + {y^2} - 2y + \left( { - xy + 2x + y - 2 + xy} \right)i\\ = {x^2} - x + {y^2} - 2y + \left( {2x + y - 2} \right)i\end{array}\)

Để \(w = \left( {z - 1} \right)\left( {\overline z  + 2i} \right)\) là số thực \( \Rightarrow 2x + y - 2 = 0\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}}  = \sqrt {{x^2} + {{\left( {2 - 2x} \right)}^2}}  = \sqrt {5{x^2} - 8x + 4} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {5\left( {{x^2} - \dfrac{8}{5}} \right)x + 4}  = \sqrt {5\left( {{x^2} - 2.\dfrac{4}{5}x + \dfrac{{16}}{{25}}} \right) - \dfrac{{16}}{5} + 4} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {5{{\left( {x - \dfrac{4}{5}} \right)}^2} + \dfrac{{36}}{5}}  \ge \dfrac{6}{{\sqrt 5 }}\end{array}\)

\( \Rightarrow \left| z \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow x = \dfrac{4}{5}\)\( \Rightarrow y = \dfrac{2}{5}\).

Vậy \(z = \dfrac{4}{5} + \dfrac{2}{5}i\).

Chọn C.