Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {3;0;2}...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chứng minh mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) luôn cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là 1 đường tròn.

\(\left( \alpha  \right)\) luôn cắt \(\left( S \right)\) theo đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right)} \). Để bán kính r nhỏ nhất \( \Leftrightarrow d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right)\) lớn nhất.

Giải chi tiết:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0; - 2;1} \right)\) và bán kính \(R = 5\). Do \(IA = \sqrt {17}  < R\) nên AB luông cắt \(S\) tại hai điểm phân biệt.

Do đó \(\left( \alpha  \right)\) luôn cắt \(\left( S \right)\) theo đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right)} \). Để bán kính r nhỏ nhất \( \Leftrightarrow d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right)\) lớn nhất.

Ta có \(d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right) \le IA \Rightarrow d{\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right)_{\max }} = IA,\) khi đó mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua A và nhận \(\overrightarrow {IA} \) là 1 VTPT. Ta có \(\overrightarrow {IA}  = \left( { - 3; - 2; - 1} \right) \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):\,\,3\left( {x - 3} \right) + 2y + \left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y + z - 11 = 0\).

Chọn D.