a)     Tìm m để phương trình: \((m-1){{x}^{2}}-2mx...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a)     Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

+) Áp dụng hệ thức Vi-et: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right.\)  và biến đổi hệ thức của đề bài để tìm m.

b)     Đặt điều kiện và giải phương trình bằng phương pháp bình phương hai vế.

Giải chi tiết:

a)     Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta > 0\\
m - 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - (m - 1)(m + 2) > 0\\
m \ne 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - {m^2} - m + 2 > 0\\
m \ne 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- m + 2 > 0\\
m \ne 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 2\\
m \ne 1
\end{array} \right..
\end{array}\)

Áp dụng định lý Viet ta có: \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{2m}{m-1} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{m+2}{m-1} \\\end{align} \right..\)

Thay vào biểu thức đã cho ta được:

\(\begin{array}{l}
\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} + \frac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} + \frac{5}{2} = 0\\
\Leftrightarrow 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 5{x_1}{x_2} = 0\\
\Leftrightarrow 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} + 5{x_1}{x_2} = 0\\
\Leftrightarrow 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + {x_1}{x_2} = 0\\
\Rightarrow 2{\left( {\frac{{2m}}{{m - 1}}} \right)^2} + \frac{{m + 2}}{{m - 1}} = 0\\
\Leftrightarrow 8{m^2} + (m - 1)(m + 2) = 0\\
\Leftrightarrow 9{m^2} + m - 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = \frac{{ - 1 + \sqrt {73} }}{{18}}\\
m = \frac{{ - 1 - \sqrt {73} }}{{18}}
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy ta có hai giá trị m thỏa mãn điều kiện bài toán là: \(m\in \left\{ \frac{-1+\sqrt{73}}{18};\ \frac{-1-\sqrt{73}}{18} \right\}.\)

b)     Điều kiện: \(x\ge 1.\)

Từ phương trình đã cho ta suy ra:

\(\begin{array}{l}
x\sqrt {2x - 2} = 9 - 5x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
9 - 5x \ge 0\\
{x^2}(2x - 2) = {(9 - 5x)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le \frac{9}{5}\\
2{x^3} - 27{x^2} + 90x - 81 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le \frac{9}{5}\\
(x - 3)(2{x^2} - 21x + 27) = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le \frac{9}{5}\\
(x - 3)(x - 9)(2x - 3) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le \frac{9}{5}\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 3\\
x = 9\\
x = \frac{3}{2}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\;\;\left( {tm\;\;x \ge 1} \right).
\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=\frac{3}{2}.\)

Chọn A