a)     Giải phương trình: \(4{x^2} = (3x - 2){(\sq...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a)     Điều kiện xác định: \(2x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - \frac{1}{2}.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}4{x^2} = (3x - 2){(\sqrt {2x + 1}  - 1)^2}\\ \Leftrightarrow {(2x + 1 - 1)^2} = (3x - 2){\left( {\sqrt {2x + 1}  - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {2x + 1}  - 1} \right)^2}{\left( {\sqrt {2x + 1}  + 1} \right)^2} = (3x - 2){\left( {\sqrt {2x + 1}  - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {2x + 1}  - 1} \right)^2}\left( {{{(\sqrt {2x + 1}  + 1)}^2} - (3x - 2)} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {2x + 1}  - 1} \right)^2}\left[ {{{\left( {\sqrt {2x + 1}  + 1} \right)}^2} - \frac{3}{2}\left( {2x + 1 - \frac{7}{3}} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {2x + 1}  - 1} \right)^2}\left[ {{{\left( {\sqrt {2x + 1}  + 1} \right)}^2} - \frac{3}{2}\left( {\sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}  - \frac{7}{3}} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {2x + 1}  - 1} \right)^2}\left[ {{{\left( {\sqrt {2x + 1}  + 1} \right)}^2} - \frac{3}{2}\sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}  + \frac{7}{2}} \right] = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {2x + 1}  - 1} \right)^2}\left( { - \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}  + 2\sqrt {2x + 1}  + \frac{9}{2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {2x + 1}  - 1} \right)^2}\left( {\sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}  - 4\sqrt {2x + 1}  + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 1}  - 1 = 0\\\sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}  - 4\sqrt {2x + 1}  + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 1}  = 1\\{t^2} - 4t + 9 = 0\;\;\;\left( {t = \sqrt {2x + 1}  \ge 0} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 1\\t = 2 + \sqrt {13} \;\;\;\left( {tm} \right)\\t = 2 - \sqrt {13} \;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\;\;\;\left( {tm} \right)\\\sqrt {2x + 1}  = 2 + \sqrt {13} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2x + 1 = 17 + 4\sqrt {13} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 8 + 2\sqrt {13} \;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {0;\;\;8 + 2\sqrt {13} } \right\}.\)

b)     Hệ phương trình:

                                     \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 2{y^2} = xy + x + y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)}\\{x\sqrt {2y}  - y\sqrt {x - 1}  = 4x - 4y\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)}\end{array}} \right..\)

Điều kiện: \(x \ge 1,\;\;y \ge 0.\)

Từ phương trình (1) ta có:

     \(\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 2{y^2} = xy + x + y}\\{ \Leftrightarrow {x^2} - xy - 2{y^2} = x + y}\\{ \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + xy - 2{y^2} = x + y}\\{ \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {x - 2y} \right) = x + y}\\{ \Leftrightarrow (x + y)(x - 2y - 1) = 0}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 0}\\{x - 2y - 1 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - y}\\{x = 2y + 1}\end{array}} \right..}\end{array}\)

Vì \(x \ge 1;\;\;y \ge 0 \Rightarrow x =  - y\) vô lý.

Với  \(x = 2y + 1\)  thay vào phương trình (2) ta được :

         \(\begin{array}{*{20}{l}}{(2y + 1)\sqrt {2y}  - y\sqrt {2y}  = 4(2y + 1) - 4y}\\{ \Leftrightarrow (y + 1)\sqrt {2y}  = 4y + 4}\\{ \Leftrightarrow (y + 1)\left( {\sqrt {2y}  - 4} \right) = 0}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y =  - 1\;\;\;\left( {ktm} \right)}\\{y = 8\;\;\left( {tm} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow y = 8 \Rightarrow x = 17\;\;\left( {tm} \right).}\end{array}\)

Vậy nghiệm của hệ đã cho là \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {17;\;8} \right).\)

Chọn A