Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là ta...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựa vào phương pháp xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Giải chi tiết:

Ta có \(AA'=\sqrt{A'{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}\).

Dựng \(Cx||AM\) khi đó \(d\left( AM;B'C \right)=d\left( AM;\left( B'Cx \right) \right)\).

\(=d\left( M;\left( B'Cx \right) \right)=\frac{1}{2}d\left( B;\left( B'Cx \right) \right)\).

Dựng \(\left\{ \begin{array}{l}BE \bot Cx\\BF \bot B'E\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}Cx \bot BE\\Cx \bot BB'\end{array} \right. \Rightarrow Cx \bot \left( {BB'E} \right) \Rightarrow Cx \bot BF\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow BF\bot \left( B'Cx \right)\Rightarrow d\left( B;\left( B'Cx \right) \right)=BF\)

Lại có \(BE=2BP\), trong đó \(BP=\frac{AB.BM}{\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{M}^{2}}}}=\frac{a.\frac{a}{2}}{\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}}}=\frac{a}{\sqrt{5}}\)

Suy ra \(BE=\frac{2a}{\sqrt{5}}\Rightarrow BF=\frac{BE.BB'}{\sqrt{B{{E}^{2}}+BB{{'}^{2}}}}=\frac{2a}{\sqrt{7}}\)

Do đó \(d=\frac{a}{\sqrt{7}}\).

Chọn D.