Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Giải chi tiết:

Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD,\,\,\,H\) là hình chiếu \(M\) trên \(\left( ABCD \right).\)

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều \(\Rightarrow \,\,SO\bot mp\,\,\left( ABCD \right).\)

Tam giác \(SAO\) vuông tại \(O,\) có \(SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\)

Và H là trung điểm của \(OD\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}MH = \frac{{SO}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\\BH = OB + OH = \frac{3}{4}BD = \frac{{3a\sqrt 2 }}{4}\end{array} \right..\)

Tam giác \(BMH\) vuông tại \(H,\) có \(\tan \widehat{MBH}=\frac{MH}{BH}=\frac{a\sqrt{2}}{4}:\frac{3a\sqrt{2}}{4}=\frac{1}{3}.\)

Vậy \(\tan \widehat{\left( BM;\left( ABCD \right) \right)}=\tan \widehat{\left( BM;BH \right)}=\tan \widehat{MBH}=\frac{1}{3}.\)

Chọn D