Cho \(x,\,\,y\) là các số thực dương thỏa mãn điều...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng từ phương trình giả thiết để tìm mối liên hệ giữa \(x,\,\,y\) sau đó thế \(x\) theo \(y\) vào biểu thức bài cho, khảo sát hàm số đã tìm GTNN – GTLN.

Giải chi tiết:

Giả thiết \(\Leftrightarrow {{5}^{x+2y}}+\frac{3}{{{3}^{xy}}}+x+1={{5}^{xy\,-\,1}}+\frac{1}{{{3}^{x\,+\,2y}}}+xy-2y\Leftrightarrow {{5}^{x\,+\,2y}}-\frac{1}{{{3}^{x\,+\,2y}}}+x+2y={{5}^{xy\,-\,1}}-\frac{1}{{{3}^{xy\,-\,1}}}+xy-1\,\,\,\,\,\,\left( * \right).\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{5}^{t}}-\frac{1}{{{3}^{t}}}+t\) với \(t\in R\) có \({f}'\left( t \right)={{5}^{t}}.\ln 5+{{3}^{-\,t}}.\ln 3+1>0;\,\,\forall t\in R\)

Suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(R\) mà \(\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( x+2y \right)=f\left( xy-1 \right)\Leftrightarrow x+2y=xy-1.\)

\(\Leftrightarrow x\left( y-1 \right)=2y+1\Leftrightarrow x=\frac{2y+1}{y-1}\) với \(x>0\Rightarrow y>1.\) Khi đó \(T=x+y=\frac{2y+1}{y-1}+y=\frac{{{y}^{2}}+y+1}{y-1}.\)

Xét hàm số \(f\left( y \right)=\frac{{{y}^{2}}+y+1}{y-1}\) trên khoảng \(\left( 1;+\,\infty  \right),\) có \({f}'\left( y \right)=\frac{{{y}^{2}}-2y-2}{{{\left( y-1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow y=1+\sqrt{3}.\)

Tính các giá trị \(f\left( 1+\sqrt{3} \right)=3+2\sqrt{3}\) và \(\underset{y\,\to \,1}{\mathop{\lim }}\,f\left( y \right)=\underset{y\,\to \,+\,\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( y \right)=+\,\infty .\)

Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số  là \(3+2\sqrt{3}.\) Vậy \({{T}_{\min }}=3+2\sqrt{3}.\)

Chọn B