a) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng: \(\f...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Đặt: \(m = b + c;\,\,n = c + a;\,\,p = a + b\,\,\,\left( {m;n;p > 0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{n + p - m}}{2}\\b = \frac{{p + m - n}}{2}\\c = \frac{{m + n - p}}{2}\end{array} \right..\) Sử dung BĐT Cauchy.

b) Tính \(a + b + c = 5 \Rightarrow c = 5 - a - b\), thế vào giả thiết \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 11 \Rightarrow \) Phương trình bậc hai ẩn a tham số b, tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm.

Giải chi tiết:

a) Ta có:

Đặt: \(m = b + c;\,\,n = c + a;\,\,p = a + b\,\,\,\left( {m;n;p > 0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{n + p - m}}{2}\\b = \frac{{p + m - n}}{2}\\c = \frac{{m + n - p}}{2}\end{array} \right..\)

Vậy vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

\(\begin{array}{l}VT = \frac{{n + p - m}}{{2m}} + \frac{{p + m - n}}{{2n}} + \frac{{2\left( {m + n} \right) - 2p}}{p}\\\,\,\,\,\,\, = \left( {\frac{n}{{2m}} + \frac{m}{{2n}}} \right) + \left( {\frac{p}{{2m}} + \frac{{2m}}{p}} \right) + \left( {\frac{p}{{2n}} + \frac{{2n}}{p}} \right) - 3\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho 2 số nguyên dương ta có:

\(\begin{array}{l}VT = \left( {\frac{n}{{2m}} + \frac{m}{{2n}}} \right) + \left( {\frac{p}{{2m}} + \frac{{2m}}{p}} \right) + \left( {\frac{p}{{2n}} + \frac{{2n}}{p}} \right) - 3\\ \ge 2\sqrt {\frac{n}{{2m}}.\frac{m}{{2n}}}  + 2\sqrt {\frac{p}{{2m}}.\frac{{2m}}{p}}  + 2\sqrt {\frac{p}{{2n}}.\frac{{2n}}{p}}  - 3 = 2.\frac{1}{2} + 2 + 2 - 3 = 2.\end{array}\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} = {n^2}\\{p^2} = 4{m^2} = 4{n^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow 2m = 2n = p \Rightarrow c = \frac{{m + n - p}}{2} = 0\) (Vô lý) \( \Rightarrow VT > 2\).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b) Ta có: \({\left( {a + b + c} \right)^2} = \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right) = 11 + 2.7 = 25 \Leftrightarrow a + b + c = 5 \Rightarrow c = 5 - a - b\)  

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{a^2} + {b^2} + {c^2} = 11\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {\left( {5 - a - b} \right)^2} = 11\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} - 10a - 10b + 2ab + 25 = 11\\ \Leftrightarrow 2{a^2} - 2\left( {5 - b} \right)a + 2{b^2} - 10b + 14 = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - \left( {5 - b} \right)a + {b^2} - 5b + 7 = 0\end{array}\)

Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi:

\(\Delta  = {\left( {5 - b} \right)^2} - 4\left( {{b^2} - 5b + 7} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 3{b^2} - 10b + 3 \le 0 \Leftrightarrow \left( {b - 3} \right)\left( {3b - 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \le b \le 3.\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{3} \le a \le 3\\\frac{1}{3} \le c \le 3\end{array} \right..\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.