Cho \(\Delta ABC\) nhọn, hai đường cao BD và CE. T...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau, tính chất 2 góc kề bù, dấu hiệu nhận biết tam giác vuông cân.

Giải chi tiết:

a) Xét \({{\Delta }_{v}}ABD\) có: \(\widehat{{{A}_{1}}}+\widehat{{{B}_{1}}}={{90}^{0}}\) (trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)

Xét \({{\Delta }_{v}}AEC\) có: \(\widehat{{{A}_{1}}}+\widehat{{{C}_{1}}}={{90}^{0}}\) (trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)

\(\Rightarrow \widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}\left( 1 \right)\)

Lại có: \(\left\{ \begin{align}  & \widehat{{{B}_{1}}}+\widehat{{{B}_{2}}}={{180}^{0}} \\  & \widehat{{{C}_{1}}}+\widehat{{{C}_{2}}}={{180}^{0}} \\ \end{align} \right.\left( 2 \right)\) (hai góc kề bù)

Từ \(\left( 1 \right);\ \left( 2 \right)\Rightarrow \widehat{{{B}_{2}}}=\widehat{{{C}_{2}}}\).

Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta KCA\) có:

\(\left\{ \begin{align}  & AB=CK\left( gt \right) \\  & \widehat{{{B}_{2}}}=\widehat{{{C}_{2}}}\left( cmt \right) \\  & BI=AC\left( gt \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \Delta ABI=\Delta KCA\left( c-g-c \right)\Rightarrow AI=AK\) (2 cạnh tương ứng)

b) Ta có \(AI=AK\left( cmt \right)\Rightarrow \Delta AIK\) cân tại A (*).

\(\Delta ABI=\Delta KCA\left( cmt \right)\Rightarrow \widehat{AIB}=\widehat{CAK}\left( 3 \right)\)(2 góc tương ứng)

Xét \({{\Delta }_{v}}AID\) có: \(\widehat{AID}+\widehat{IAD}={{90}^{0}}\left( 4 \right)\)(trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)

Từ \(\left( 3 \right)\left( 4 \right)\Rightarrow \widehat{IAD}+\widehat{CAK}={{90}^{0}}\Rightarrow \Delta AIK\)vuông tại A (**)

Từ (*) và (**) \(\Rightarrow \Delta AIK\) vuông cân tại A. (đpcm).