Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^6}\) trong khai tr...

A

- Hướng dẫn giải

Lời giải chi tiết:

\( + )\)Xét: \({\left( {x + 3} \right)^n} = C_n^0.{x^n}{.3^0} + C_n^1.{x^{n - 1}}{.3^1} + ... + C_n^n.{x^0}{.3^n}\)

\( + )\)Thay \(x = 1\)\( \Leftrightarrow {\left( {1 + 3} \right)^n} = C_n^0 + 3C_n^1 + ... + {3^n}\)

\( \Leftrightarrow {4^n} = 65536\)\( \Leftrightarrow {4^n} = {4^8}\)\( \Leftrightarrow n = 8\)

\( \Rightarrow \) Biều thức là \({\left( {x - 4.{x^{\dfrac{1}{2}}}} \right)^8}\)

\( + )\)Số hạng tổng quát của biểu thức \({\left( {x - 4.{x^{\dfrac{1}{2}}}} \right)^8}\)là:

\({T_{k + 1}} = C_8^k.{x^{8 - k}}.{\left( { - 4{x^{\dfrac{1}{2}}}} \right)^k}\)\( = C_8^k.{x^{8 - k}}.{\left( { - 4} \right)^k}.{x^{\dfrac{1}{2}k}}\)\( = C_8^k{\left( { - 4} \right)^k}.{x^{8 - \dfrac{1}{2}k}}\)

Số hạng chứa \({x^6}\)\( \Rightarrow {x^{8 - \dfrac{1}{2}k}} = {x^6}\)\( \Leftrightarrow 8 - \dfrac{1}{2}k = 6\)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}k = 2\)\( \Leftrightarrow k = 4\)

\( \Rightarrow \)Hệ số của số hạng chứa \({x^6}\) là:\(C_8^4.{\left( { - 4} \right)^4} = 17920\).

Chọn A.