Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. V...

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A, B, C khác với gốc tọa độ O sao cho biểu thức $\frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}$ có giá trị nhỏ nhất.

A. $(P) : x + 2 y + 3 z - 14 = 0$

B. $(P) : x + 2 y + 3 z - 11 = 0$

C. $(P) : x + 2 y + z - 8 = 0$

D. $(P) : x + y + 3 z - 14 = 0$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đáp án A

Gọi $A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c) \to$ phương trình mặt phẳng (ABC) là $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Vì điểm $M (1; 2; 3) \in (P) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1$ , ta có ${(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c})}^{2} \leq (1^{2} + 2^{2} + 3^{2}) (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}})$

Khi đó $\frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq \frac{1}{14}$ . Dâu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 2b = 3c.

Suy ra $a = 14, b = 7, c = \frac{14}{3}$ , vậy phương trình mặt phẳng (P) là $\frac{x}{14} + \frac{y}{7} + \frac{3 z}{14} = 1 \Leftrightarrow x + 2 y + 3 z - 14 = 0 .$

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Tổng hợp đề thi THPTQG môn Toán cực hay, có lời giải chi tiết !!

↑

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. V...

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A, B, C khác với gốc tọa độ O sao cho biểu thức 1OA2+1OB2+1OC2có giá trị nhỏ nhất.