Cho ba toa tàu đánh số từ 1 đến 3 và 12 hành...

B

- Hướng dẫn giải

Đáp án B

*Xếp 12 khách vào 3 toa tàu (có thể có toa không có khách): Có $3^{12}$cách.

* Trừ đi các trường hợp có KHÔNG QUÁ 2 toa có khách: $-C_3^2{.2}^{12}$

(Chọn ra hai toa có $C_3^2$ cách. Sau đó xếp tùy ý 12 khách vào 2 toa đã chọn ra này, tức là có thể có một trong hai toa không có khách).

Nhưng như vậy ta đã trừ đi các trường hợp chỉ có 1 toa có khách đến 2 lần nên phải cộng lại số này: $+C_3^1{.1}^{12}$

* Vậy cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là $3^{12}-C_3^2{.2}^{12}+C_3^1{.1}^{12}=519156$ cách.

Do đó chọn đáp án B.

Bài toán tổng quát: Có bao nhiêu cahcs xếp q hành khách vào n toa tàu khác nhau sao cho toa tàu nào cũng có khách? (hay chính là bài toán chia quà: Có bao nhiêu cách chia q món quà khác nhau cho n bạn sao cho bạn nào cũng có quà?)

Ở bài toán trên, ta có:

$3^{12}-C_3^2{.2}^{12}+C_3^1{.1}^{12}=C_3^0{\left(3-0\right)}^{12}-C_3^1{\left(3-1\right)}^{12}+C_3^2{\left(3-2\right)}^{12}-C_3^3{\left(3-3\right)}^{12}$

Lập luận tương tự như bài toán trên ta có số cách xếp (cách chia) là:

$C_n^0{\left(n-0\right)}^q-C_n^1{\left(n-1\right)}^q+C_n^2{\left(n-2\right)}^q-C_n^3{\left(n-3\right)}^q+\mathrm{...}=\sum _{k=0}^n{\left(-1\right)}^k{C}_n^k{\left(n-k\right)}^q$ 

Bài toán này khác với bài toán chia kẹo Euler: Có bao nhiêu cách chia q chiếc kẹo giống nhau cho n em bé sao cho em nào cũng có kẹo?