Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC cạnh a,

C

- Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Gọi G là trọng tâm $\Delta ABC\Rightarrow SG\perp \left(ABC\right)$, I là trung điểm AB

$\begin{array}{l}AG=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\\ \Rightarrow SG=\sqrt{S{A}^2-A{G}^2}=a\end{array}$

 $IG=\frac{1}{3}CI=\frac{a\sqrt{3}}{6}$

 $CG=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ 

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ: Ox qua G và song song AB

$\Rightarrow G\left(0;0;0\right)$, $S\left(0;0;a\right)$, $C\left(0;\frac{a\sqrt{3}}{3};0\right)$; $B\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{6};0\right)$ 

 $CA=CB=CD\Rightarrow$C là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABD$

Gọi d là đường thẳng qua $C\left(0;\frac{a\sqrt{3}}{3};0\right)$ và vuông góc với (ABD)

$\begin{array}{l}\Rightarrow VTPT\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)\\ \Rightarrow d:\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=\frac{a\sqrt{3}}{3}\\ z=t\end{array}\right.\end{array}$ 

Gọi tâm mặt cầu ngoại tiếp SABD là $J\in d\Rightarrow J\left(0;\frac{a\sqrt{3}}{3};t\right)$ 

Mà $\begin{array}{l}JS=JB\\ \iff 0^2+{\left(-\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2+{\left(a-t\right)}^2\\ ={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{a\sqrt{3}}{6}-\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2+t^2\\ \iff t=\frac{1}{6}a\end{array}$ 

$\begin{array}{l}\Rightarrow R=\sqrt{0^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2+{\left(a-\frac{1}{6}a\right)}^2}\\ =\frac{a\sqrt{37}}{6}\end{array}$